안녕하세요?
오늘은 연구자들이 데이터를 분석할 때 가장 빈번하게 마주하지만, 동시에 가장 골치 아픈 문제인 ‘결측치(Missing Data)’를 구조방정식 모델(SEM)에서 어떻게 처리해야 하는지 깊이 있게 다뤄보겠습니다.

단순히 결측치를 삭제하는 과거의 방식에서 벗어나, 현대 통계학의 표준인 완전 정보 최대 우도법(FIML)과 다중 대치법(MI)을 중심으로 학습해 봅시다. 여러분의 이해를 돕기 위해 교육 현장의 가상 데이터를 활용하여 설명하겠습니다.

1. 결측치 처리의 필요성과 이론적 배경

교육 연구에서 학생들의 설문 데이터나 성적 데이터를 수집하다 보면, 특정 문항에 응답하지 않거나 전학 등으로 인해 데이터가 누락되는 경우가 많습니다. 과거에는 결측치가 있는 사례를 통째로 삭제(Listwise Deletion)하곤 했으나, 이는 표본 크기를 줄여 통계적 검증력을 약화시킬 뿐만 아니라, 특정 집단이 조직적으로 응답을 누락했을 경우 심각한 편향(Bias)을 초래합니다¹.

결측치 발생 기제 (Missing Data Processes)

결측치를 처리하기 전, 루빈(Rubin, 1976)이 제안한 세 가지 발생 기제를 이해해야 합니다.

1. 완전 무작위 결측 (MCAR): 결측이 관찰된 데이터나 관찰되지 않은 데이터와 전혀 상관없이 발생한 경우입니다. (예: 설문지가 단순히 배달 사고로 분실됨)
2. 무작위 결측 (MAR): 결측이 다른 관찰된 변수와는 상관이 있지만, 결측된 값 자체와는 상관이 없는 경우입니다. 현대적 결측치 처리법의 기본 가정입니다. (예: 기초 학력이 낮은 학생이 학업 중단으로 인해 기말고사 점수가 누락됨)
3. 비무작위 결측 (MNAR): 결측이 누락된 값 자체와 관련이 있는 경우입니다. (예: 성적이 매우 낮은 학생이 부끄러워서 일부러 성적을 기입하지 않음)

2. 가상 시나리오 및 모의 데이터 생성

강의를 위해 다음과 같은 교육 연구 시나리오를 설정하겠습니다.

연구 주제: 교사의 지지가 학생의 학업 자기효능감을 매개로 학교 행복감에 미치는 영향

• 독립변수: 교사의 지지 (Teacher Support)
• 매개변수: 학업 자기효능감 (Self-Efficacy, 3개 문항)
• 종속변수: 학교 행복감 (School Happiness, 3개 문항)
• 보조변수(Auxiliary Variable): 부모의 학업 관여도 (Parental Involvement) – 모델에는 없으나 결측치 추정을 돕기 위해 활용

R을 이용한 모의 데이터 생성 스크립트

jamovi에서 불러올 수 있도록 결측치가 포함된 500명의 가상 데이터를 생성합니다.

R

# 필요한 라이브러리
library(MASS)

set.seed(2025)
N <- 500

# 변수 간 상관관계 설정 (교사지지, 효능감1-3, 행복감1-3, 부모관여)
mu <- rep(0, 8)
sigma <- matrix(0.5, 8, 8); diag(sigma) <- 1
data <- mvrnorm(N, mu, sigma)
colnames(data) <- c("T_Sup", "Eff1", "Eff2", "Eff3", "Hap1", "Hap2", "Hap3", "P_Inv")
df <- as.data.frame(data)

# MAR 기제에 의한 결측치 생성: 교사 지지가 낮은 학생일수록 효능감 응답 누락 확률 높음
missing_idx <- which(df$T_Sup < quantile(df$T_Sup, 0.3))
df$Eff1[sample(missing_idx, 50)] <- NA
df$Hap1[sample(1:N, 30)] <- NA # 일부는 MCAR

write.csv(df, "School_Missing_Data.csv", row.names = FALSE)

3. 완전 정보 최대 우도법 (FIML)

완전 정보 최대 우도법(Full-Information Maximum Likelihood)은 관찰된 데이터를 모두 사용하여 로그 우도(Log-likelihood) 함수를 계산하는 방식입니다. 결측치가 있는 사례를 버리지 않고, 관찰된 데이터만을 사용하여 해당 사례의 우도 값을 계산합니다.

jamovi에서의 분석 방법

1. SEMLj 라이브러리를 설치합니다.
2. SEMLj 모듈을 실행하고 모델을 설정합니다.
3. Options 탭에서 Missing values 설정을 FIML로 선택합니다.
   • 참고: jamovi의 기본 SEMLj 엔진인 lavaan은 FIML을 통해 결측치를 효율적으로 처리합니다.

보조 변수(Auxiliary Variables)의 활용

결측치가 MAR 가정에 더 가깝게 부합하도록 하기 위해, 모델에 직접 포함되지 않지만 결측과 관련이 있는 변수(부모 관여도)를 활용할 수 있습니다.

• 포화 상관 모델 (Saturated Correlates Model): 보조 변수를 모델 내 모든 외생 변수와 상관시키고, 내생 변수의 잔차와 상관시키는 방식입니다.

4. 다중 대체법 (Multiple Imputation, MI)

다중 대체법은 결측치를 단일 값이 아닌 여러 번 추정하여 여러 개의 ‘완성된’ 데이터셋을 만드는 방식입니다.

분석의 3단계

1. 대체 단계 (Imputation): MCMC 알고리즘 등을 활용하여 결측치가 채워진 $M$개(보통 20~100개)의 데이터셋 생성.
2. 분석 단계 (Analysis): 각 데이터셋에 대해 구조방정식 모델을 독립적으로 분석.
3. 결합 단계 (Pooling): 루빈의 규칙(Rubin’s Rules)을 적용하여 결과를 하나로 통합.

jamovi/R 구현 (R 기반 설명)

jamovi의 일부 플러그인에서도 MI를 지원하지만, 구조방정식의 경우 R의 mice 패키지와 lavaan을 병행하는 것이 가장 정교합니다.

R

library(mice)
library(lavaan)

# 1. 대치 단계 (20개의 데이터셋 생성)
imp <- mice(df, m = 20, method = 'pmm', seed = 2025)

# 2. 분석 및 결합 단계
model <- '
  Efficacy =~ Eff1 + Eff2 + Eff3
  Happiness =~ Hap1 + Hap2 + Hap3
  Efficacy ~ T_Sup
  Happiness ~ Efficacy + T_Sup
'
fit_mi <- with(imp, sem(model, data = subset(df)))
# pool 결과를 사용하여 최종 추정치 산출

5. 분석 결과의 비교 및 해석

FIML과 MI는 동일한 가정(MAR) 하에서 보통 거의 일치하는 결과를 보여줍니다.

6. 결론 및 제언

교육 연구에서 결측치는 피할 수 없는 현상입니다. 하지만 FIML이나 MI와 같은 현대적인 기법을 사용한다면, 결측치로 인한 편향을 최소화하고 연구의 타당성을 높일 수 있습니다.

• 데이터가 연속형이고 분석 모델이 명확하다면 FIML을 우선 권장합니다.
• 변수 중에 범주형 변수가 많거나 비선형 효과를 분석해야 한다면 MI가 더 유리합니다.

구조방정식 모델링 시 “결측치가 있으니 해당 학생을 삭제하겠다”는 생각은 이제 접어두시고, 데이터를 최대한 활용하는 통계적 지혜를 발휘해 보시기 바랍니다.

참고문헌 (APA Style)

• Arbuckle, J. L. (1996). Full information estimation in the presence of incomplete data. In G. A. Marcoulides & R. E. Schumacker (Eds.), Advanced structural equation modeling (pp. 243–277). Erlbaum.
• Enders, C. K. (2022). Applied missing data analysis (2nd ed.). Guilford Press.
• Graham, J. W. (2003). Adding missing-data-relevant variables to FIML-based structural equation models. Structural Equation Modeling: A Multidisciplinary Journal, 10(1), 80–100.
• Little, R. J. A., & Rubin, D. B. (2020). Statistical analysis with missing data (3rd ed.). Wiley.
• Rubin, D. B. (1987). Multiple imputation for nonresponse in surveys. Wiley.
• Schafer, J. L. (1997). Analysis of incomplete multivariate data. Chapman & Hall.

안녕하세요? 여러분.
오늘 우리는 구조방정식 모델링(SEM)에서 가장 중요하면서도 많은 연구자가 간과하기 쉬운 주제인 ‘모델 선택(Model Selection)‘에 대해 깊이 있게 다루어 보겠습니다.

우리는 보통 하나의 모델을 세우고 그 모델의 적합도 지수(CFI, TLI, RMSEA 등)가 기준치를 넘으면 “내 모델이 옳다”라고 결론짓곤 합니다. 하지만 그것은 위험한 생각일 수 있습니다. 오늘은 왜 단일 모델의 적합도만 봐서는 안 되는지, 그리고 여러 경쟁 모델 중 어떤 것이 가장 ‘좋은’ 모델인지 어떻게 결정하는지를 교육학적 사례와 함께 살펴보겠습니다.

1. 단일 모델 적합도의 한계: 왜 모델 선택인가?

우리가 연구에서 세우는 모델은 실제 현실을 완벽하게 반영할 수 없습니다. 모델은 단지 ‘현실에 대한 근사치’일 뿐입니다. 따라서 특정 모델의 적합도가 좋게 나왔다고 해서 그것이 반드시 객관적 진리인 것은 아닙니다.

모델 적합도의 함정

1. 포화 모델(Saturated Model)의 문제: 모델이 복잡해져서 자유도($df$)가 0이 되면, 이론적 타당성과 상관없이 적합도는 항상 완벽하게 나옵니다.
2. 외생적 요인의 영향: 표본 크기($N$), 데이터의 비정규성, 측정 오차 등 모델의 진실성과 상관없는 요인들이 적합도 지수를 왜곡할 수 있습니다.
3. 연구자의 자유도(Researcher Degrees of Freedom): 누락된 데이터 처리 방식이나 모델 수정 과정에서 연구자의 주관적 결정이 개입되어 적합도가 ‘조작’될 위험이 있습니다.

이러한 한계를 극복하기 위해 제안된 것이 모델 선택(Model Selection)입니다. 이는 사전에 이론적으로 타당한 여러 경쟁 모델들을 설정하고, 이 모델들을 동일한 데이터에 적용하여 어떤 모델이 가장 우수한지 순위를 매기는 과정입니다.

2. 이론적 배경: 오차의 프레임워크 (Cudeck & Henly)

모델을 선택할 때 우리가 고려해야 할 오차는 여러 종류가 있습니다. Cudeck과 Henly(1991)는 이를 이해하기 쉬운 프레임워크로 제시했습니다.

• 근사 오차(Approximation Discrepancy): 모집단에서 모델과 실제 데이터 구조 사이의 차이로, 모델의 ‘진실성(Verisimilitude)’을 나타냅니다.
• 추정 오차(Estimation Discrepancy): 표본 크기에 따른 샘플링 변동성 때문에 발생하는 오차입니다.
• 전체 오차(Overall Discrepancy): 근사 오차와 추정 오차를 합친 개념으로, 모델이 새로운 데이터에 얼마나 잘 적용될지를 나타내는 일반화 가능성(Generalizability)과 직결됩니다.

우리는 단순히 현재 데이터에만 잘 맞는 모델이 아니라, 새로운 데이터에도 잘 맞을 모델(일반화 가능성이 높은 모델)을 선택해야 합니다.

3. 모델 선택의 핵심 기준

모델을 선택할 때 가장 중요한 원칙은 적합도와 복잡성 사이의 균형(Bias-Variance Trade-off)입니다. 너무 복잡한 모델은 현재 데이터에는 완벽해 보일지 몰라도(과적합, Overfitting), 새로운 데이터에서는 성능이 뚝 떨어집니다.

주요 정보 지수 (Information Criteria)

대부분의 모델 선택 기준은 다음과 같은 일반적인 형태를 띱니다.

$D + f(q, N)$

여기서 $D$는 부적합도(로그 가능도 기반), $f$는 복잡성($q$는 자유 파라미터 수)과 표본 크기($N$)에 따른 벌칙(Penalty) 항입니다.

4. 교육 현장 사례를 통한 실전 분석

이제 실제 교육학 연구 상황을 가정하여 모델 선택을 진행해 보겠습니다.

연구 시나리오: 고등학생의 학업 회복탄력성 구조 분석

김 교수는 고등학생 500명을 대상으로 ‘자기효능감’과 ‘교사 지지’가 ‘학업 회복탄력성’에 미치는 영향을 연구하고 있습니다. 그는 세 가지 경쟁 모델을 세웠습니다.

• 모델 1 (단순 모델): 자기효능감 -> 학업 회복탄력성
• 모델 2 (매개 모델): 자기효능감 -> 교사 지지 -> 학업 회복탄력성
• 모델 3 (복합 모델): 모델 2에 ‘부모 지지’와 ‘또래 지지’ 경로를 모두 추가한 복잡한 모델

jamovi를 활용한 분석 방법

jamovi의 SEMed 모듈(또는 jmv)을 사용하면 분석 결과 하단에서 정보 지수를 확인할 수 있습니다.

1. 데이터 불러오기: Academic_Resilience.csv
2. 분석 메뉴: Factor -> Structural Equation Modeling
3. 모델 설정: 각 경쟁 모델의 경로를 설정합니다.
4. 지수 확인: 결과 창의 Fit Measures 탭에서 AIC와 BIC 값을 확인합니다. 값이 작을수록 우수한 모델입니다.

R 코드를 활용한 심화 분석 (SIC 포함)

jamovi에서 기본으로 제공하지 않는 SIC(Stochastic Information Complexity) 등은 R의 lavaan 패키지를 사용하여 계산할 수 있습니다.

R

# 필요한 패키지 로드
library(lavaan)

# 1. 가상 데이터 생성 (N=500)
set.seed(2025)
N <- 500
self_eff <- rnorm(N)
teacher_sup <- 0.4 * self_eff + rnorm(N, sd = 0.8)
resilience <- 0.3 * self_eff + 0.5 * teacher_sup + rnorm(N, sd = 0.7)
edu_data <- data.frame(self_eff, teacher_sup, resilience)

# 2. 경쟁 모델 설정
model_1 <- 'resilience ~ self_eff'
model_2 <- 'teacher_sup ~ self_eff; resilience ~ teacher_sup + self_eff'

# 3. 모델 적합
fit1 <- sem(model_1, data = edu_data)
fit2 <- sem(model_2, data = edu_data)

# 4. AIC, BIC 비교
cat("Model 1 AIC:", AIC(fit1), " BIC:", BIC(fit1), "\n")
cat("Model 2 AIC:", AIC(fit2), " BIC:", BIC(fit2), "\n")

# 5. SIC 계산 (구조적 복잡성 반영)
# SIC = -ln L + 0.5 * ln|I(theta)| [cite: 321]
# 실제 연구에서는 semTools 등을 활용하여 더 편리하게 계산 가능합니다. [cite: 455]

분석 결과 예시 표

5. WaurimaL의 실무 제언 (Take-home Points)

모델 선택은 단순히 숫자를 비교하는 기계적인 과정이 아닙니다. 다음 원칙을 반드시 기억하세요.

1. 사전 이론의 중요성: 모델 선택 지수는 보조 도구일 뿐, 가장 먼저 고려해야 할 것은 교육학적 이론과 논리입니다.
2. 삼각측량(Triangulation): AIC와 BIC가 다른 모델을 선택할 수 있습니다. AIC는 예측에, BIC는 진리 탐색에 유리하므로 두 종류를 모두 보고 종합적으로 판단하세요.
3. 모델 평균화(Model Averaging): 하나의 모델만 딱 고르기 어렵다면, 우수한 여러 모델의 결과를 가중 평균하여 보고하는 방식도 고려해 보세요.
4. 표본 크기의 영향: 표본이 작을 때는 구조적 복잡성을 잘 반영하는 MDL 계열 지수(SIC 등)를 활용하는 것이 더 정확할 수 있습니다.

구조방정식은 모델을 ‘확정’ 짓는 도구가 아니라, 이론을 ‘검증’하고 ‘발전’시키는 과정임을 잊지 마시기 바랍니다.

참고문헌 (APA Style)

• Akaike, H. (1973). Information theory and an extension of the maximum likelihood principle. In B. N. Petrov & F. Csáki (Eds.), Second International Symposium on Information Theory (pp. 267–281). Akadémiai Kiadó.
• Burnham, K. P., & Anderson, D. R. (2002). Model selection and multimodel inference: A practical information-theoretic approach (2nd ed.). Springer.
• Cudeck, R., & Henly, S. J. (1991). Model selection in covariance structures analysis and the “problem” of sample size: A clarification. Psychological Bulletin, 109(3), 512–519.
• Preacher, K. J., & Yaremych, H. E. (2025). Model selection in structural equation modeling. In Handbook of Structural Equation Modeling. [Note: Based on the provided chapter content]
• Schwarz, G. (1978). Estimating the dimension of a model. Annals of Statistics, 6(2), 461–464.
• Wasserman, L. (2000). Bayesian model selection and model averaging. Journal of Mathematical Psychology, 44(1), 92–107.