선형혼합모형 Archives

안녕하세요!

오늘은 종단 자료 모델링(Longitudinal Data Modeling)에 대해 살펴보겠습니다. “학교 현장의 데이터”를 예시로 들어 직관적인 설명과 수리적 엄밀함을 모두 갖춘 형태로 재구성해 드리겠습니다.

분석 도구로는 jamovi의 사용법을 설명하되, jamovi의 기반이 되는 R 코드를 함께 제시하여 모의 데이터 생성부터 분석, 시각화까지 완벽하게 구현해 드리겠습니다.

1. 들어가며: 스냅샷이 아닌 영화처럼

우리가 흔히 접하는 연구는 특정 시점에 학생들의 성적을 조사하는 횡단 연구(Cross-sectional Study)가 많습니다. 이건 마치 학생들의 달리기 시합 중 한 순간을 찍은 ‘사진’과 같습니다. 하지만 교육은 변화의 과정입니다. 우리가 정말 알고 싶은 건 “철수가 지난 학기보다 얼마나 성장했는가?” 혹은 “새로운 독서 프로그램이 시간이 지날수록 효과가 커지는가?”입니다.

이처럼 한 개인(subject)에 대해 시간을 두고 반복적으로 측정한 데이터를 종단 자료(Longitudinal Data)라고 합니다.

왜 다층모형인가요?

종단 자료는 2수준 다층 구조의 특수한 형태입니다.

1수준 (Level 1): 시간(Time) 혹은 측정 시점 (예: 1학기, 2학기, 3학기…)
2수준 (Level 2): 개인 (Subject, 예: 학생)

일반적인 회귀분석을 쓰면 안 되나요? 안 됩니다. 한 학생이 여러 번 시험을 봤다면, 그 점수들끼리는 서로 관련(상관)이 있겠죠? “내 점수는 서로 독립적이지 않다”는 사실 때문에 일반 회귀분석의 가정(독립성)이 위배됩니다. 그래서 우리는 다층모형을 사용해야 합니다.

2. 시나리오 및 데이터 생성: “독서 자신감 프로젝트”

이론만 보면 지루하니 가상의 학교 데이터를 만들어보겠습니다.

[시나리오]

A 초등학교에서는 200명의 학생을 대상으로 ‘독서 효능감(Reading Self-Efficacy)’이 4학기 동안 어떻게 변하는지 추적했습니다.

Time (시간): 0(사전), 1(1학기 후), 2(2학기 후), 3(3학기 후)

Group (집단): 실험군(새로운 독서 프로그램), 대조군(기존 수업)

Outcome (종속변수): 독서 효능감 점수 (0~100점)

이제 R을 사용하여 이 시나리오에 맞는 데이터를 생성하겠습니다. (jamovi의 R Editor 모듈이나 RStudio에서 실행 가능합니다.)

# 데이터 생성 R 코드
set.seed(1234)
library(MASS)
library(lme4)
library(ggplot2)

# 1. 기본 설정
n_subjects <- 200
n_timepoints <- 4
time <- 0:3

# 2. 2수준(학생) 변수 생성
ids <- 1:n_subjects
group <- sample(c("Control", "Treatment"), n_subjects, replace = TRUE)
# 실험군은 초기치는 낮으나 성장률이 더 가파르도록 설정
intercept_mean <- ifelse(group == "Treatment", 40, 45) 
slope_mean <- ifelse(group == "Treatment", 5, 2)

# 랜덤 효과 (개인별 차이): 절편과 기울기의 상관관계 설정
# 절편 분산=25, 기울기 분산=4, 상관계수=0.3
Sigma <- matrix(c(25, 3, 3, 4), 2, 2) 
random_effects <- mvrnorm(n_subjects, mu = c(0, 0), Sigma = Sigma)

# 3. 데이터 프레임 만들기
data_long <- data.frame()

for(i in 1:n_subjects) {
  # 개인별 고유한 절편과 기울기
  b0i <- intercept_mean[i] + random_effects[i, 1]
  b1i <- slope_mean[i] + random_effects[i, 2]
  
  # 오차항 (1수준)
  epsilon <- rnorm(n_timepoints, mean = 0, sd = 3)
  
  # 종속변수 생성 (선형 성장 모형)
  y <- b0i + b1i * time + epsilon
  
  temp_df <- data.frame(
    ID = factor(i),
    Time = time,
    Group = factor(group[i]),
    Score = y
  )
  data_long <- rbind(data_long, temp_df)
}

# CSV로 저장 (jamovi에서 불러오기 위함)
# write.csv(data_long, "reading_growth.csv", row.names = FALSE)

# 데이터 확인
head(data_long)

# CSV로 저장 (jamovi에서 불러오기 위함)
write.csv(data_long, "chap09.csv", row.names = FALSE)

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3. 선형 혼합 모형 (Linear Mixed Model) 분석

교재에서는 일반적인 다층모형 표기( $j$ 가 상위 수준)와 달리, 종단 자료에서는 관습적으로 $i$ 를 개인(2수준), $t$ 를 시간(1수준)으로 표기한다고 강조합니다.

기본 식은 다음과 같습니다:

$y_{it} = x’_{it}\beta + z’_{it}u_i + \epsilon_{it}$

$x’_{it}\beta$ : 고정 효과 (Fixed Effects) – 전체 평균적인 변화 패턴
$z’_{it}u_i$ : 랜덤 효과 (Random Effects) – 개인별 편차
$\epsilon_{it}$ : 잔차 (Residuals) – 측정 오차

분석 단계 (jamovi & R)

1단계: 시각화 (스파게티 플롯)

데이터를 받으면 가장 먼저 그려봐야 합니다. 학생 개개인의 성장 곡선이 어떻게 생겼는지 확인합니다.

# 스파게티 플롯 생성
ggplot(data_long, aes(x = Time, y = Score, group = ID, color = Group)) +
  geom_line(alpha = 0.3) +
  stat_summary(aes(group = Group, color = Group), fun = mean, geom = "line", size = 1.5) +
  theme_minimal() +
  labs(title = "학생별 독서 효능감 변화 곡선")

해석: 얇은 선들은 학생 개개인이고, 굵은 선은 집단별 평균입니다. 실험군(Treatment)이 초기에는 낮지만 시간이 지날수록 빠르게 성장하는 패턴이 보이나요?

2단계: 비조건부 성장 모형 (Unconditional Growth Model)

시간에 따른 변화가 선형(직선)인지 확인하고, 개인별 성장 속도에 차이가 있는지 검증합니다.

jamovi 절차:
1. Analyses > Linear Models > Linear Mixed Model 선택
2. Dependent Variable: Score
3. Cluster: ID (2수준 단위)
4. Covariates: Time
5. Fixed Effects: Time (전체 평균 기울기 확인)
6. Random Effects:
  - Intercept | ID: 초기치(출발점)가 학생마다 다른가?
  - Time | ID: 변화율(기울기)이 학생마다 다른가?

이때 랜덤 효과의 분산-공분산 행렬 $\Omega$ 는 다음과 같이 설정됩니다.

$\Omega = \begin{pmatrix} \sigma_{u0}^2 & \sigma_{u01} \\ \sigma_{u01} & \sigma_{u1}^2 \end{pmatrix}$

여기서 $\sigma_{u1}^2$ (기울기의 분산)이 유의하다는 것은 “학생마다 성장 속도가 다르다”는 뜻입니다.

3단계: 조건부 성장 모형 (Conditional Growth Model)

이제 “왜 성장 속도가 다를까?”를 설명하기 위해 설명변수(Group)를 투입합니다.

jamovi 절차:
- 위 설정에서 Factors에 Group을 추가합니다.
- Fixed Effects에 Group, Time, 그리고 Group * Time (상호작용항)을 넣습니다.
결과 해석의 핵심 (교재 기반):
- Time 효과: 대조군의 평균 성장률.
- Group * Time 효과: 가장 중요! 실험군이 대조군보다 시간이 지날수록 얼마나 더(또는 덜) 성장하는지를 나타냅니다. 이 값이 유의하면 “프로그램의 효과가 있다”고 말할 수 있습니다.

4. 이산형 종단 자료 (Discrete Longitudinal Data)

만약 종속변수가 점수(연속형)가 아니라, “독서 습관 형성 여부 (성공=1, 실패=0)”와 같은 이항(Binary) 변수라면 어떻게 해야 할까요? 일반적으로 두 가지 접근법이 있습니다.

4.1. 주변 모형 (Marginal Models) – GEE

개념: 개인별 변화보다는 “전체 집단의 평균적인 변화”에 관심이 있을 때 사용합니다.
해석: “우리 학교 전체 학생들의 독서 습관 성공률이 시간이 지남에 따라 증가했는가?” (Population-averaged interpretation).
방법: GEE (Generalized Estimating Equations)를 사용합니다. 데이터의 분포 가정을 엄격하게 하지 않아도 되어 강건(Robust)합니다.
Jamovi 구현: Jamovi의 기본 메뉴에는 없으나, GAMLj 모듈을 설치하면 GEE와 유사한 GLM 분석이 가능하며, R의 geepack 패키지를 사용하는 것이 가장 정확합니다.

4.2. 일반화 선형 혼합 모형 (GLMM)

개념: “개별 학생의 변화”와 그 안에서의 관계를 모델링합니다.
해석: “철수라는 학생이 이 프로그램을 들었을 때 성공할 확률이 어떻게 변하는가?” (Subject-specific interpretation).
수식: 연결 함수(Link function, 예: 로짓)를 사용하여 선형 결합을 변환합니다.
$\text{logit}(P(y_{it}=1|u_i)) = x’_{it}\beta + z’_{it}u_i$
Jamovi 구현:
1. Linear Models > Generalized Mixed Models 선택
2. Dependent Variable: 성공 여부 (0, 1)
3. Distribution: Binomial
4. Link: Logit
5. 나머지 설정은 LMM과 동일.

[WaurimaL의 팁]

교육 현장 연구에서는 보통 GLMM을 더 선호합니다. 우리는 학생 개개인의 특성과 성장에 관심이 많으니까요. 하지만 정책 입안자에게 보고서를 쓸 때는 Marginal Model의 결과가 더 직관적일 수 있습니다.

5. 결측치 (Missing Data): 피할 수 없는 골칫거리

종단 연구의 숙명은 “학생이 전학 가거나 아파서 검사를 못 받는 경우”입니다. 이를 불완전 자료(Incomplete Data)라고 합니다.

결측 메커니즘 3가지

MCAR (완전 무작위): 선생님이 실수로 시험지를 잃어버림. 데이터 분석에 큰 문제 없음.
MAR (무작위): 지난 시험 점수가 낮은 학생들이 이번 시험에 결석함. (관측된 데이터로 설명 가능). 다층모형(Likelihood-based)은 이를 어느 정도 보정해 줍니다.
NMAR (비무작위): 공부를 안 해서(측정하지 못한 값 때문에) 시험을 안 봄. 가장 위험함. 분석 결과가 편향(Bias)될 수 있음.

대처법: 다층모형은 기본적으로 MAR 가정하에 분석을 수행하므로, 단순 반복측정 분산분석(RM-ANOVA)보다 결측치 처리에 훨씬 강력합니다. jamovi는 결측치가 있는 행을 무조건 삭제하지 않고, 가능한 정보를 최대한 활용합니다.

6. 나가며: 정리 및 다음 단계

오늘 우리는 시간을 품은 데이터, 종단 자료를 다층모형으로 분석하는 법을 배웠습니다.

종단 자료는 시간(1수준)이 개인(2수준)에 내재된 구조입니다.
LMM을 통해 개인별 초기치와 성장 속도의 차이를 추정할 수 있습니다.
종속변수가 범주형일 때는 GLMM을 사용합니다.
다층모형은 결측치가 존재하는 교육 현장 데이터에 매우 유용합니다.

참고문헌 (References)

Fitzmaurice, G. M., Laird, N. M., & Ware, J. H. (2011). Applied longitudinal analysis (2nd ed.). Wiley.
Heck, R. H., Thomas, S. L., & Tabata, L. N. (2013). Multilevel and longitudinal modeling with IBM SPSS. Routledge.
Laird, N. M., & Fitzmaurice, G. M. (2013). Longitudinal Data Modeling. In The SAGE Handbook of Multilevel Modeling (Chap. 9). SAGE Publications.
Singer, J. D., & Willett, J. B. (2003). Applied longitudinal data analysis: Modeling change and event occurrence. Oxford University Press.

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Educational Measurement & Psychometrics

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