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Chap01. The Multilevel Model Framework

안녕하세요!

오늘은 다층모형의 가장 핵심적이고 기초적인 내용인 다층모델 프레임워크에 대해 살펴보겠습니다. “학교 현장의 데이터”를 예시로 들어 직관적인 설명과 수리적 엄밀함을 모두 갖춘 형태로 재구성해 드리겠습니다.

분석 도구로는 jamovi의 사용법을 설명하되, jamovi의 기반이 되는 R 코드를 함께 제시하여 모의 데이터 생성부터 분석, 시각화까지 완벽하게 구현해 드리겠습니다.

제1장. 다층모형(Multilevel Models)의 세계: 교실 속 아이들, 학교 속 교실

1. 서론: 왜 우리는 ‘층(Level)’을 고려해야 할까요?

우리가 교육 현장에서 마주하는 데이터는 결코 독립적인 섬처럼 존재하지 않습니다. 전통적인 통계 분석(예: 단순 회귀분석)은 모든 학생이 서로 아무런 관계없이 독립적으로 존재한다고 가정합니다. 하지만 현실은 어떤가요?

“학생은 학급에 속해 있고, 학급은 학교에 속해 있으며, 학교는 교육청(지역)에 속해 있습니다.”

이것이 바로 위계적 구조(Hierarchical Structure) 또는 내재된 구조(Nested Structure)입니다. 만약 우리가 이 구조를 무시하고 분석한다면 어떻게 될까요?

통계적 오류: 같은 반 아이들은 같은 선생님, 같은 분위기를 공유하기 때문에 서로 비슷할 가능성이 큽니다. 이를 무시하면 표준오차(Standard Error)가 잘못 계산되어, 효과가 없는데도 있다고 착각하는(1종 오류) 심각한 실수를 범하게 됩니다.
잘못된 해석: 개인의 특성(지능)과 집단의 특성(학교 풍토)을 뒤섞어 버려, 현상을 제대로 설명하지 못하게 됩니다.

따라서 우리는 개인(1수준)과 집단(2수준)을 동시에 고려하는 다층모형(Multilevel Modeling)을 사용해야 합니다.

이제부터 ‘행복 초등학교’의 가상 데이터를 통해 이 문제를 해결하는 다층모형의 마법을 살펴보겠습니다.

2. 모의 데이터 생성: 행복 초등학교 이야기

우리의 연구 문제는 다음과 같습니다.

연구 문제: “학생의 독서 즐거움(Enjoyment)은 학업 성취도(Achievement)에 영향을 미치는가? 그리고 이 관계는 담임 선생님의 경력(Teacher Experience)에 따라 달라지는가?”

이 데이터를 생성하기 위해 R 코드를 사용하겠습니다. (jamovi에서는 Rj 에디터를 쓰거나, 이 코드로 생성된 CSV를 불러와서 분석한다고 가정하면 됩니다.)

# [R Code: 모의 데이터 생성]
set.seed(2026)

# 1. 구조 설정
n_schools <- 20    # 학교 수 (Level 2)
n_students <- 30   # 학교당 학생 수 (Level 1)
N <- n_schools * n_students

# 2. 학교(Level 2) 변수 생성
school_id <- rep(1:n_schools, each = n_students)
teacher_exp <- rep(rnorm(n_schools, mean = 10, sd = 5), each = n_students) # 교사 경력
# 학교마다 출발점(절편)과 독서 효과(기울기)가 다름을 가정
u0 <- rep(rnorm(n_schools, mean = 0, sd = 5), each = n_students) # 학교별 절편 차이 (Random Intercept)
u1 <- rep(rnorm(n_schools, mean = 0, sd = 2), each = n_students) # 학교별 기울기 차이 (Random Slope)

# 3. 학생(Level 1) 변수 생성
enjoyment <- rnorm(N, mean = 50, sd = 10) # 독서 즐거움
error <- rnorm(N, mean = 0, sd = 5)       # 개인 오차

# 4. 종속변수 생성 (다층 구조 반영)
# 성취도 = 전체평균 + (전체기울기 * 즐거움) + 학교별절편 + (학교별기울기 * 즐거움) + (상호작용: 교사경력 * 즐거움) + 오차
beta0 <- 40 # 기본 절편
beta1 <- 0.5 # 독서 즐거움의 기본 효과
beta2 <- 0.3 # 교사 경력의 조절 효과 (Cross-level interaction)

achievement <- (beta0 + u0) + (beta1 + u1 + beta2 * teacher_exp) * enjoyment + error

# 데이터프레임 생성
data <- data.frame(SchoolID = as.factor(school_id), 
                   Achievement = achievement, 
                   Enjoyment = enjoyment, 
                   TeacherExp = teacher_exp)

# 데이터 확인 (상위 5개)
head(data)

# CSV 저장 (jamovi에서 불러오기 위함)
write.csv(data, "chap01.csv", row.names = FALSE)

이 데이터에서 학생( $i$ )은 학교( $j$ )에 내재되어 있습니다( $i \subset j$ ).

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3. 다층모형의 기초: 고정효과와 무선효과

다층모형을 이해하려면 두 가지 핵심 단어를 구별해야 합니다.

고정효과 (Fixed Effects): 전체 데이터에 공통적으로 적용되는 평균적인 효과입니다. “일반적으로 독서를 좋아하면 성적이 오른다”라는 명제에서 ‘오른다’의 평균값입니다.
무선효과 (Random Effects): 집단(학교)마다 달라지는 고유한 특성입니다. 어떤 학교는 평균보다 성적이 더 높고(절편의 차이), 어떤 학교는 독서의 효과가 더 강력합니다(기울기의 차이). 이 차이를 확률분포(주로 정규분포)로 가정합니다.

모형 1: 무선 절편 모형 (Random Intercept Model)

가장 기초적인 모형입니다. 우리는 먼저 “어떤 학교는 애초에 성적이 더 잘 나오는가?”를 묻습니다. 이를 그림으로 그리면 모든 학교의 기울기는 같지만, 출발점(절편)의 높낮이가 다른 평행선들이 나타납니다.

수식으로는 다음과 같습니다.

$\begin{aligned} \text{Level 1 (학생):} & \quad y_{ij} = \beta_{0j} + \beta_{1}x_{ij} + \epsilon_{ij} \\ \text{Level 2 (학교):} & \quad \beta_{0j} = \beta_{0} + u_{0j} \end{aligned}$

$y_{ij}$ : $j$ 학교 $i$ 학생의 성취도
$\beta_{0j}$ : $j$ 학교의 평균 성취도 (학교마다 다름)
$\beta_{0}$ : 전체 학교의 평균 성취도 (고정효과)
$u_{0j}$ : $j$ 학교가 전체 평균에서 얼마나 벗어났는가? (무선효과, 잔차)

[jamovi 분석 방법]

Linear Models -> Linear Mixed Model 선택
Dependent Variable: Achievement
Covariates: Enjoyment
Cluster Variable (Grouping): SchoolID
Random Effects: Intercept | SchoolID 체크

이 분석을 통해 우리는 급내상관계수(ICC)를 구할 수 있습니다. 이는 전체 성적 차이 중 학교 간 차이가 얼마나 되는지를 보여줍니다. 만약 ICC가 0에 가깝다면 굳이 다층모형을 쓸 필요가 없겠지만, 학교 데이터에서는 보통 0.1~0.3 정도가 나옵니다.

모형 2: 무선 기울기 모형 (Random Slope Model)

이제 더 흥미로운 질문을 던집니다. “독서의 즐거움이 성적에 미치는 영향이 학교마다 다른가?”

어떤 학교에서는 독서를 좋아하면 성적이 쑥쑥 오르지만, 어떤 학교에서는 별 차이가 없을 수 있습니다. 즉, 기울기가 학교마다 다릅니다.

수식이 조금 더 복잡해집니다.

$\begin{aligned} \text{Level 1:} & \quad y_{ij} = \beta_{0j} + \beta_{1j}x_{ij} + \epsilon_{ij} \\ \text{Level 2:} & \quad \beta_{0j} = \beta_{0} + u_{0j} \quad (\text{절편도 다름}) \\ & \quad \beta_{1j} = \beta_{1} + u_{1j} \quad (\text{기울기도 다름}) \end{aligned}$

이 모형은 아래 그림처럼 각 학교의 회귀선들이 출발점도 다르고 기울기도 제각각인 ‘스파게티’ 같은 모양을 띱니다.

[jamovi 분석 방법]

위의 설정에서 Random Effects에 Enjoyment 변수를 추가하여 Slope를 허용합니다. (Enjoyment + Intercept | SchoolID)

4. 설명변수의 추가와 상호작용 (Contextual Effects)

이제 데이터의 계층 구조를 완전히 활용해 봅시다.

“왜 어떤 학교는 독서 효과(기울기)가 더 클까?”

우리는 그 이유가 ‘선생님의 경력(TeacherExp)’ 때문이라고 가설을 세웠습니다. 이것은 학교 수준(Level 2)의 변수입니다.

이것을 수식에 넣으면 놀라운 일이 벌어집니다. 2수준 변수(교사 경력)가 1수준 변수(독서 즐거움)의 기울기를 설명하게 되는데, 이를 ‘층간 상호작용(Cross-level Interaction)’이라고 합니다.

$y_{ij} = \beta_{0} + \beta_{1}x_{ij} + \beta_{2}W_{j} + \beta_{3}(x_{ij} \times W_{j}) + (u_{0j} + u_{1j}x_{ij} + \epsilon_{ij})$

여기서 $x_{ij}$ 는 독서 즐거움, $W_{j}$ 는 교사 경력입니다. $\beta_{3}$ 가 유의미하다면, “교사의 경력이 많을수록 학생의 독서 즐거움이 성적에 미치는 긍정적 효과가 더 커진다”고 해석할 수 있습니다.

library(lme4)
library(lmerTest) # p-value 확인용
library(ggplot2)

# 모형 적합: 성취도 ~ 독서*경력 + (1+독서|학교)
# * 기호를 쓰면 주효과와 상호작용 효과가 모두 포함됩니다.
full_model <- lmer(Achievement ~ Enjoyment * TeacherExp + (1 + Enjoyment | SchoolID), 
                   data = data)

# 결과 요약
summary(full_model)

# --- 시각화: 상호작용 효과 확인 ---
# 교사 경력을 '고경력'과 '저경력' 집단으로 구분 (시각화 목적)
data$ExpGroup <- ifelse(data$TeacherExp > mean(data$TeacherExp), 
                        "High Experience", "Low Experience")
data$pred <- predict(full_model)

ggplot(data, aes(x = Enjoyment, y = pred, color = ExpGroup)) +
  geom_point(alpha = 0.1) + # 개별 학생 점수 (흐릿하게)
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, linewidth = 1.5) + # 집단별 회귀선 (굵게!)
  theme_minimal() +
  scale_color_manual(values = c("blue", "orange")) +
  labs(title = "교사 경력이 독서 효과를 조절하는가?",
       subtitle = "High Experience 집단의 기울기가 더 가파르다면 조절효과가 있는 것입니다.",
       x = "독서 즐거움", y = "예측된 학업 성취도")

[jamovi 분석 방법]

★ 핵심: 상호작용 항 만들기 (Fixed Effects):
- Fixed Effects 탭을 엽니다.
- 왼쪽 변수 목록에서 Enjoyment와 TeacherExp를 동시에 선택(Ctrl/Shift 클릭)합니다.
- 가운데 [Interaction] 버튼을 누릅니다.
- 오른쪽 박스에 Enjoyment ✻ TeacherExp 항목이 생성되었는지 확인합니다.
결과 확인:
- Fixed Effects Parameter Estimates 표에서 상호작용 항(Enjoyment ✻ TeacherExp)의 p-value가 0.05 미만인지 확인합니다.
그래프 그리기:
- Estimated Marginal Means 탭에서 Enjoyment ✻ TeacherExp 항을 선택하여 아래로 내립니다.

5. 결과의 해석과 교훈

분석 결과를 보면 다음과 같은 패턴을 발견할 수 있습니다.

Intercept (절편): 학교 간 성적 차이가 존재합니다. (ICC > 0)
Enjoyment (주효과): 독서를 좋아할수록 성적이 오릅니다. (기울기 > 0)
Interaction (상호작용): 교사 경력이 높은 학교일수록 독서의 효과(기울기)가 더 가파릅니다. 즉, 노련한 선생님은 독서를 좋아하는 아이들의 잠재력을 더 크게 성적으로 연결해 줍니다.

6. 풀링(Pooling)의 미학: 정보의 줄다리기

다층모형은 “완전 결합(Fully Pooled)”과 “비결합(Fully Unpooled)” 사이의 타협점입니다. 이 개념이 아주 중요합니다.

1) 완전 결합 (Complete Pooling)

개념: “학교 차이는 없어!” 하고 모든 데이터를 한 통에 넣고 분석하는 것입니다.
문제: 학교 간의 고유한 특성을 완전히 무시합니다.

2) 비결합 (No Pooling)

개념: “학교는 완전히 달라!” 하고 각 학교마다 따로따로 회귀분석을 20번 돌리는 것입니다.
문제: 학생 수가 적은 학교는 데이터가 부족해 결과가 엉망이 됩니다(과적합).

3) 부분 결합 (Partial Pooling) = 다층모형

개념: 다층모형은 이 둘의 중간입니다. 학교별 특성을 인정하되, 전체 데이터의 경향성도 빌려옵니다.
수축 효과 (Shrinkage): 학생 수가 적거나 데이터가 불안정한 학교의 추정치는 전체 평균 쪽으로 살짝 당겨집니다. 이것은 마치 “잘 모를 때는 남들이 하는 만큼은 한다고 치자”는 지혜와 같습니다. 이를 통해 훨씬 안정적이고 정확한 추정치를 얻습니다.

7. 시각화: R을 이용한 그래프

library(ggplot2)
library(lme4)

# 모형 적합 (Random Slope Model)
model <- lmer(Achievement ~ Enjoyment + (1 + Enjoyment | SchoolID), data = data)

# 예측값 생성
data$pred <- predict(model)

# 시각화
ggplot(data, aes(x = Enjoyment, y = Achievement, group = SchoolID)) +
  geom_point(alpha = 0.3, color = "gray") + # 실제 데이터 점
  geom_line(aes(y = pred, color = as.factor(SchoolID)), size = 0.8) + # 학교별 회귀선 (Random Slopes)
  geom_abline(intercept = fixef(model)[1], slope = fixef(model)[2], 
              color = "black", size = 1.5, linetype = "dashed") + # 전체 고정효과 (평균선)
  theme_minimal() +
  labs(title = "다층모형 분석 결과: 학교별 독서 즐거움과 성취도",
       subtitle = "검은 점선은 전체 평균(Fixed Effect), 색깔 선은 학교별 특성(Random Effects)",
       x = "독서 즐거움", y = "학업 성취도", color = "학교 ID") +
  theme(legend.position = "none")

8. 확장과 적용: 더 복잡한 세상으로

다층모형은 여기서 멈추지 않습니다. 현실은 더 복잡하니까요.

3수준 모형: 학생 $\subset$ 학급 $\subset$ 학교 $\subset$ 지역구… 이렇게 계속 확장할 수 있습니다.
교차 분류 (Cross-classified) 모형: 학생이 ‘학교’에도 속하지만 동시에 ‘거주 지역(동네)’에도 속할 때, 학교와 동네는 서로 완전히 포함관계가 아닐 수 있습니다(예: A학교에 사는 애들이 1동, 2동에 섞여 삼). 이럴 때도 다층모형은 유연하게 대처합니다.
일반화 선형 혼합모형 (GLMM): 종속변수가 점수가 아니라 ‘합격/불합격(0/1)’인 경우(로지스틱)에도 다층모형을 적용할 수 있습니다.

9. 맺음말

다층모형은 단순히 통계 기법이 아닙니다. 세상을 바라보는 ‘관점’입니다. 개인이 처한 환경(Context)을 무시하지 않고, 개인과 환경의 상호작용을 있는 그대로 존중하며 분석하는 방법입니다.

여러분도 jamovi와 R을 통해 교실 속 아이들, 그리고 그 아이들을 감싸고 있는 학교의 이야기를 숫자로 풀어내는 즐거움을 느껴보시길 바랍니다.

참고문헌 (References)

Gill, J., & Womack, A. J. (2014). The Multilevel Model Framework. In The SAGE Handbook of Multilevel Modeling (pp. 3–20). SAGE Publications Ltd.

[WaurimaL의 팁]

jamovi에서 lmer (Linear Mixed Effects Regression) 결과를 해석할 때, Fixed Effects Parameter Estimates 표는 전체적인 경향성을, Random Components 표의 Variance(분산)는 집단 간의 차이 크기를 나타낸다는 점을 꼭 기억하세요!

다층모형의 기초 – 회귀분석을 넘어 데이터의 ‘맥락’을 읽다

안녕하세요? 다층모형(Multilevel Modeling) 강의에 오신 여러분을 환영합니다. 저는 이번 다층모형 시리즈를 여러분과 함께 헤쳐나갈 WaurimaL입니다.

오늘 우리는 단순히 통계 공식을 외우는 것이 아니라, 왜 우리가 다층모형이라는 렌즈를 통해 세상을 봐야 하는지를 아주 기초적인 원리부터 다뤄보려 합니다. 초등학생도 이해할 수 있도록 쉬운 비유를 섞어가며, 하지만 대학원 수준의 깊이까지 놓치지 않고 설명해 드리겠습니다.

우리가 다룰 교재의 서론(Introduction) 부분을 바탕으로, 실제 학교 현장의 데이터를 가정한 실습까지 진행해 봅시다.

1. 서론: 우리는 왜 ‘다층’적인가?

여러분이 교육학 연구자라고 가정해 봅시다. 여러분은 “학생의 학습 동기가 학업 성취도에 미치는 영향”을 알고 싶습니다. 데이터를 모으기 위해 전국의 초등학교를 돌아다니며 설문조사를 했죠. 그런데 여기서 중요한 질문이 하나 생깁니다.

“서울 강남의 A 초등학교 학생들과 시골 분교의 B 초등학교 학생들이 완전히 똑같은 환경에 있을까요?”

당연히 아닙니다. 같은 학교, 같은 반 친구들은 담임 선생님의 지도 방식, 학교의 분위기, 급식의 맛(?)까지 공유합니다. 즉, 학생들은 독립적인 섬(Island)이 아니라, ‘학급’이나 ‘학교’라는 집단(Cluster) 안에 내재되어(Nested) 있습니다.

전통적인 통계 방법은 이 ‘내재구조’를 무시했습니다. 다층모형은 바로 이 맥락(Context)을 통계적으로 정교하게 모델링하기 위해 탄생했습니다.

2. 전통적 회귀분석의 한계: ‘모든 사람은 섬이다?’

가장 널리 쓰이는 통계 방법인 회귀분석(Regression Analysis)을 떠올려 봅시다.

기본 식은 다음과 같습니다.

$y_{i} = \beta_{0} + \beta_{1}x_{1i} + \epsilon_{i}$

여기서 $\epsilon_{i}$ (오차항)는 평균이 0이고 분산이 $\sigma^{2}$ 인 정규분포를 따른다고 가정합니다. 이 가정의 핵심은 “모든 데이터( $i$ )는 서로 독립적이다”라는 믿음입니다.

🚩 무엇이 문제인가요?

학교 데이터를 예로 들어봅시다.

현실: 같은 반 학생들의 성적은 서로 비슷할 가능성이 높습니다(담임 선생님의 영향 등).
문제: 이렇게 되면 오차들( $\epsilon_{i}$ )끼리 서로 상관관계(Correlation)를 가지게 되어, “오차는 독립적이어야 한다”는 회귀분석의 대전제가 깨집니다. 결과적으로 통계적 추정이 부정확해집니다.

3. ANOVA와 변량효과(Random Effects): 집단을 바라보는 두 가지 시선

이 문제를 해결하기 위해 우리는 집단을 어떻게 처리할지 고민해야 합니다.

(1) 고정효과(Fixed Effects) 모형: ANOVA의 접근

만약 우리가 “A반, B반, C반 딱 이 세 반만 비교하고 싶다”면, 각 반을 하나의 고유한 특성으로 보고 더미 변수(Dummy variable) 등을 이용해 분석합니다. 이를 일원분산분석(One-way ANOVA) 모형이라고 합니다.

$y_{ij} = \mu + \alpha_{j} + \epsilon_{ij}$

$y_{ij}$ : $j$ 번째 반의 $i$ 번째 학생 점수(또는 성취도)
$\alpha_{j}$ : $j$ 번째 반의 고유한 효과 (고정효과)

이 방법은 그 특정 반들에 대한 예측은 정확할지 몰라도( $\bar{y}_j$ ), 이 결과를 다른 학교나 반으로 일반화하기 어렵다는 단점이 있습니다.

(2) 변량효과(Random Effects) 모형: 다층모형의 시작

하지만 보통 연구자들은 “A반 그 자체”보다는 “일반적인 학급 간의 차이”에 관심이 많습니다. 즉, 우리가 뽑은 학급들이 전체 학급 모집단에서 무작위로 추출된 표본이라고 보는 것이죠.

$y_{ij} = \mu + u_{j} + \epsilon_{ij}$

$u_{j}$ : $j$ 번째 반의 효과. 하지만 이번엔 고정된 값이 아니라, 평균이 0이고 분산이 $\sigma_{u}^{2}$ 인 확률변수입니다.

이 모형의 가장 큰 특징은 분산을 두 개로 쪼갠다는 점입니다.

집단 내 분산( $\sigma^{2}$ ): 같은 반 학생들끼리의 성적 차이
집단 간 분산( $\sigma_{u}^{2}$ ): 반 평균 성적끼리의 차이

(3) 급내상관계수(ICC)와 ‘정보 빌려오기’

여기서 아주 중요한 개념인 ICC(Intraclass Correlation, $\rho$ )가 등장합니다.

$\rho = \frac{\sigma_{u}^{2}}{\sigma_{u}^{2} + \sigma^{2}}$

의미: 전체 성적 차이 중에서 “학교(반)가 달라서 생기는 차이”가 몇 %인가?를 나타냅니다.
또한, 같은 반 학생 두 명을 뽑았을 때 그들의 성적이 얼마나 비슷할지를 나타내는 상관계수이기도 합니다.

💡 부분 풀링(Partial Pooling)의 마법

다층모형은 ‘부분 풀링(Partial Pooling)’ 전략을 씁니다.

완전 풀링(Complete Pooling): 반 차이를 무시하고 전체 평균으로 퉁침.
풀링 없음(No Pooling): 각 반을 완전히 별개로 보고 각 반 평균만 믿음.
부분 풀링(다층모형): 표본이 적은 반의 결과는 전체 평균 쪽으로 살짝 당겨줍니다(Shrinkage). 즉, “데이터가 부족한 반은 다른 반들의 정보(Strength)를 좀 빌려와서 추정하자”는 아주 합리적인 타협안입니다.

4. 다층모형(Multilevel Model)의 완성

이제 위에서 본 회귀분석과 변량효과 모형을 합쳐봅시다. 이것이 바로 우리가 배울 임의 절편 모형(Random Intercept Model)입니다.

$y_{ij} = \beta_{0} + \beta_{1}x_{1ij} + \dots + u_{0j} + \epsilon_{ij}$

$\beta_{0} + \beta_{1}x_{1ij}$ : 고정효과 부분 (일반 회귀식과 동일)
$u_{0j}$ : 임의 절편(Random Intercept). $j$ 번째 학교가 전체 평균보다 얼마나 더 잘하거나 못하는지를 나타내는 그 학교만의 ‘고유한 특성’ (오차)
$\epsilon_{ij}$ : 학생 개인의 오차

이 식은 “학생의 성적( $y$ )은 전체 평균적인 경향( $\beta$ )에다가, 그 학생이 속한 학교의 특성( $u$ )을 더하고, 학생 개인의 운이나 특성( $\epsilon$ )을 더해서 결정된다”라고 해석할 수 있습니다.

5. 실습: jamovi를 활용한 다층분석 시뮬레이션

이제 이론을 바탕으로 가상의 데이터를 생성하고 직접 분석해 보겠습니다. jamovi는 R 기반의 무료 통계 소프트웨어로, 클릭만으로 다층모형을 쉽게 돌릴 수 있습니다.

(1) 가상의 시나리오: 수원시 초등학생 학업성취도 연구

상황: 수원시에 있는 20개 초등학교를 대상으로, ‘사교육 시간(시간/주)’이 ‘수학 성취도’에 미치는 영향을 연구합니다.
가설: 사교육 시간이 길수록 성취도가 높을 것이다. 하지만 학교마다 기본 학력 수준(절편)은 다를 것이다.

(2) 데이터 생성 (R 코드)

jamovi에서 불러올 데이터를 생성하기 위해 R 코드를 작성해 드립니다. (이 코드는 실제 데이터와 매우 유사한 구조를 만듭니다.)

# R 코드: 다층모형 실습 데이터 생성
set.seed(2026) # 재현성을 위해 시드 설정

# 설정
n_schools <- 20    # 학교 수 (Level 2)
n_students <- 30   # 학교당 학생 수 (Level 1)
total_n <- n_schools * n_students

# 파라미터 (참값)
grand_intercept <- 50       # 전체 평균 수학 점수
slope_private_edu <- 3      # 사교육 시간 1시간 증가당 점수 상승분
sigma_u <- 10              # 학교 간 차이 (표준편차) -> 꽤 큼
sigma_e <- 5               # 학생 개인 오차 (표준편차)

# 데이터 생성
school_id <- rep(1:n_schools, each = n_students)
student_id <- 1:total_n

# 학교별 효과 (Random Intercept) 생성
u_j <- rnorm(n_schools, mean = 0, sd = sigma_u)
school_effect <- rep(u_j, each = n_students)

# 독립변수: 주당 사교육 시간 (0~10시간, 정규분포 + 약간의 학교별 차이 반영)
# 부촌 학교는 사교육 시간이 더 길 수 있으므로 학교 효과와 약간의 상관관계 부여
private_edu <- pmax(0, rnorm(total_n, mean = 4 + 0.1*school_effect, sd = 2))

# 종속변수: 수학 점수 생성 (다층모형 식 적용)
# Score = 50 + 3*Time + School_Effect + Error
math_score <- grand_intercept + slope_private_edu * private_edu + school_effect + rnorm(total_n, 0, sigma_e)

# 데이터프레임 생성
data <- data.frame(
  School = factor(school_id),
  Student = factor(student_id),
  Private_Edu = private_edu,
  Math_Score = math_score
)

# CSV 저장 (jamovi에서 불러오기 위함)
write.csv(data, "Suwon_Math_Study.csv", row.names = FALSE)

(위 코드를 실행하면 Suwon_Math_Study.csv 파일이 생성됩니다. 이 파일을 jamovi에서 엽니다.)

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(3) jamovi 분석 가이드

자, 이제 생성된 데이터를 가지고 jamovi에서 분석하는 절차를 단계별로 설명합니다. 우리는 GAMLj 모듈(jamovi의 강력한 혼합모형 모듈)이나 기본 Linear Models를 사용할 수 있습니다. 여기서는 기본 내장된 기능을 기준으로 설명합니다.

단계 1: 기초 모형 (Null Model) – 학교 효과 확인하기

아무런 설명 변수 없이, 단지 “성적이 학교에 따라 얼마나 다른가?”만 확인합니다.

메뉴: Analyses > Linear Models > Mixed Model 선택
변수 설정:
- Dependent Variable (종속변수): Math_Score
- Cluster Variables (집단 변수): School
결과 확인 (Random Effects Table):
- School (Intercept)의 분산(Variance)과 Residual (Error)의 분산을 확인합니다.
- ICC 계산: jamovi 결과표 아래에 ICC가 자동으로 출력됩니다.
- School 분산이 146.583, Residual 분산이 58.083이라면, $ICC = 146.583 / (146.583+58.083) = 0.716$ . 즉, 성적 차이의 71.6%는 학교 차이 때문입니다! (우리 시뮬레이션에서는 대략 0.8 정도로 높게 설정했습니다.)

단계 2: 임의 절편 모형 (Random Intercept Model)

이제 ‘사교육 시간’이 미치는 영향을 봅니다.

Covariates (공변량): Private_Edu를 추가합니다.
Fixed Effects (고정 효과): Private_Edu를 오른쪽으로 옮깁니다. (전체적인 사교육 효과를 보겠다는 뜻)
Random Effects (변량 효과): Intercept | School이 기본으로 설정되어 있을 겁니다. 이는 “학교마다 출발점(평균 점수)은 다르다”는 것을 허용한다는 뜻입니다.

(4) 결과 해석 (가상)

효과 (Effect)	추정치 (Estimate)	의미
Intercept (절편)	57.326	사교육을 전혀 안 했을 때의 전체 평균 점수
Private_Edu (사교육)	3.024	사교육 시간이 1시간 늘 때마다 수학 점수가 약 3.024점 오름
Random Effect (School)	Variance $\approx$ 97.085	학교 간 평균 점수 차이가 매우 큼

결론: 수원시 초등학생들의 수학 성취도에는 사교육 시간이 유의미한 긍정적 영향을 미칩니다( $\beta \approx 3$ ). 하지만, 학교 간의 편차( $\sigma_u^2$ )가 매우 크므로, 어떤 학교에 다니느냐가 성적에 큰 영향을 미치고 있음을 알 수 있습니다. 만약 일반 회귀분석을 했다면, 이 거대한 ‘학교 효과’를 무시하여 사교육의 효과를 과대/과소 추정하거나 유의성 검정에 오류가 있었을 것입니다.

6. 요약 및 다음 단계

오늘 우리는 왜 다층모형이 필요한지 배웠습니다.

데이터의 구조: 학생은 학교에, 환자는 병원에 ‘내재(Nested)’되어 있습니다.
독립성 위반: 이를 무시하면 통계적 오류가 발생합니다.
해결책: 변량효과(Random Effect)를 도입하여 집단 간 차이와 집단 내 차이를 분리하고, 더 정확한 추정을 합니다.

참고문헌 (References)

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Chatterjee, S., & Simonoff, J. S. (2013). Handbook of regression analysis. Hoboken, NJ: John Wiley and Sons.
Gelman, A., & Hill, J. (2007). Data analysis using regression and multilevel/hierarchical models. Cambridge: Cambridge University Press.
Laird, N. M., & Ware, J. H. (1982). Random effects models for longitudinal data. Biometrics, 38, 963-974.
Raudenbush, S. W., & Bryk, A. S. (2002). Hierarchical linear models: Applications and data analysis methods (2nd ed.). Newbury Park, CA: Sage.
Simonoff, J. S., Scott, M. A., & Marx, B. D. (2013). The SAGE handbook of multilevel modeling. SAGE Publications.